5. Suma y Resta de Polinomios | Álgebra (Fundamentos)

Para empezar

Las empanadas de la feria

Para la feria del colegio, tu curso vende x empanadas a $2.500 cada una. Cada empanada cuesta $1.200 en ingredientes, y el aceite y el gas cuestan $15.000 en total (precios de ejemplo). La ganancia es lo que entra menos lo que sale:

$2\,500x - (1\,200x + 15\,000) = 1\,300x - 15\,000$

Si se te olvida que el menos afecta a los $15.000, la cuenta dice que ganan $30.000 más de lo real. Restar un polinomio es cambiarle el signo a todos sus términos. Míralo con fichas.

Momento animado

Restar es voltear las fichas

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Las fichas rojas son negativas; una positiva y una negativa de la misma forma suman 0.

AvanceEtapa 1 de 5

Etapas

Etapa 1 de 5 · Los dos

Arriba $2x^2 + 3x - 1$ ; abajo, lo que se resta: $x^2 - x + 2$ .

(2x^2 + 3x - 1) - (x^2 - x + 2)

La Caja de Herramientas Algebraica

Imagina que organizas una caja de herramientas. Tienes martillos, destornilladores y llaves mezclados. Para saber qué tienes, no cuentas "5 herramientas", sino "2 martillos y 3 destornilladores".

En álgebra, hacemos lo mismo. Esta "organización" se llama Reducción de Términos Semejantes.

¡Sí se mezclan!

Misma variable, mismo exponente.

3x^2 + 5x^2 = 8x^2

¡No tocar!

Distinta variable o exponente.

3x^2 + 2x \neq 5x^3

Concepto Clave

"Propiedad Distributiva: Sumar polinomios es factorizar la variable. 3 manzanas + 2 manzanas = (3+2) manzanas."

Algoritmos de Agrupamiento

Existen dos estrategias principales. Elige la que te permita ver mejor los términos.

1. Método Horizontal (Lineal)

Ideal para expresiones cortas. Usa colores mentales para agrupar.

Paso 1: Identificar

$(2x^2 + 4x) + (3x^2 - x)$

Paso 2: Agrupar

$(2x^2 + 3x^2) + (4x - x)$

Resultado

$5x^2 + 3x$

2. Método Vertical (Columnas)

El mejor para polinomios largos. Alineas columnas como en la suma aritmética.

Consejo: si falta un término (ej. no hay

x

), escribe

0x

para guardar el sitio.

\phantom{+} 4x^2 - 3x + 7

+ 2x^2 + 5x - 2

\phantom{+} 6x^2 + 2x + 5

Visualizador Vertical

Alineación de términos semejantes por columnas.

x²

Pol. A

Pol. B

Total

3x²

-2x

El Peligro de la Resta

La resta es una de las causas más comunes de errores en exámenes. El signo menos es un "interruptor" que invierte TODOS los signos del paréntesis que le sigue.

Transformación a Suma

Resta

A - (B)

Suma del Opuesto

A + (-B)

Práctica de Operaciones

Ejercicio 1: Resta de Polinomios y Distribución de Signos

Calcula la resta y reduce a su mínima expresión:

(5x^2 - 3x + 2) - (2x^2 + x - 5)

Ejercicio 2: Modelo Económico de Ganancia Neta (Tipo PISA)

Un negocio calcula sus finanzas en base a la cantidad $x$ de productos vendidos:

Ingresos totales $I(x)$ :10x
Costos totales $C(x)$ :2x + 50

Determina la función polinómica de Ganancia Neta $G(x) = I(x) - C(x)$ :

Ejemplo resuelto

Suma (4x³ − 2x + 5) + (−x³ + 3x² − 7)

1
Ordena por grado y deja espacio para lo que falta
El primero no tiene x² y el segundo no tiene x: en el cuaderno se deja el hueco.
2
Suma por columnas
$\begin{array}{r} 4x^3 \phantom{{} + 3x^2} - 2x + 5 \\ -x^3 + 3x^2 \phantom{{} - 2x} - 7 \\ \hline 3x^3 + 3x^2 - 2x - 2 \end{array}$
3
Comprueba con x = 1
Arriba: (4 − 2 + 5) + (−1 + 3 − 7) = 7 − 5 = 2. Abajo: 3 + 3 − 2 − 2 = 2.

Practica

Tres ejercicios más

En cada resta, escribe primero el polinomio con todos sus signos cambiados.

Ejercicio 3: una resta completa

Calcula

(3x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 4x - 5)

Ejercicio 4: la ganancia de las empanadas

Si venden x empanadas a $2.500, cada una cuesta $1.200 y hay $15.000 de gastos fijos, ¿cuál es la ganancia?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): el perímetro del triángulo

Los lados de un triángulo miden

(2x + 1)

(x + 3)

(3x - 2)

centímetros. ¿Cuál es su perímetro?