20. Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común Múltiplo (mcm…

Para empezar

La baldosa más grande

Un patio mide 12 m por 18 m y se quiere cubrir con baldosas cuadradas iguales, lo más grandes posible y sin cortar ninguna (medidas de ejemplo). El lado de la baldosa tiene que dividir a 12 y a 18: el mayor que sirve es 6 m, el máximo común divisor.

Con polinomios se hace igual, pero con factores en lugar de números primos. Míralo con fichas.

Momento animado

MCD y mcm con fichas de factores

Dale a Reproducir: lo común va al MCD; todo, sin repetir lo común, va al mcm.

AvanceEtapa 1 de 5

Etapas

Etapa 1 de 5 · Factorizar

Cada polinomio se escribe como producto de factores que no se pueden partir: $A = x \cdot x \cdot (x - 1)(x + 2)$ y $B = x \cdot (x - 1)(x - 1)$ .

A = x^2(x - 1)(x + 2) \qquad B = x(x - 1)^2

Los Cimientos de las Fracciones Algebraicas

¿Recuerdas cómo se suma $\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$ en aritmética elemental? Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores ( $\text{mcm}(6, 8) = 24$ ).

En el álgebra avanzada hacemos exactamente lo mismo con expresiones polinómicas. Para ello, la factorización completa es la herramienta reina que descompone los polinomios en sus "átomos" irreducibles:

M.C.D. (Divisor Común - El Estricto)

Se usa para simplificar fracciones algebraicas. Toma exclusivamente los factores comunes elevados a su menor exponente.

m.c.m. (Contenedor Múltiplo - El Acumulador)

Se usa para hallar el común denominador al sumar o restar fracciones. Toma factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.

Concepto Clave

"El primer paso OBLIGATORIO para calcular MCD o mcm es FACTORIZAR completamente todos los polinomios en factores irreducibles."

Laboratorio de Factores: MCD vs mcm de Polinomios

Regla de oro: Factorizar primero, luego comparar exponentes factor por factor.

Primer Polinomio

A(x) = (x - 1)^3 (x + 2)

Segundo Polinomio

B(x) = (x - 1)^2 (x + 2)^4 (x - 5)

Máximo Común Divisor (MCD)

(x - 1)^2 (x + 2)

Solo factores comunes con el menor exponente: (x - 1)² y (x + 2)¹.

1. Algoritmo Paso a Paso para Coeficientes y Factores

1
Factorización Plena: Descompón cada polinomio en factores lineales o cuadráticos primos utilizando factor común, identidades notables o Ruffini.
2
Tratamiento de Coeficientes Numéricos: Aplica aritmética clásica a los números de adelante (ej. MCD(12, 18) = 6; mcm(12, 18) = 36).
3
Regla de los Exponentes: Para MCD selecciona los factores repetidos en todos con el menor exponente. Para mcm incluye todos los factores presentes al mayor exponente.

Ejercicios de entrenamiento

Ejercicio 1: Factorización y Selección en Polinomios Cuadráticos

Dados los polinomios P(x) = x² - 9 y Q(x) = x² - 6x + 9, ¿cuál es su MCD y su mcm?

Ejercicio 2: Monomios con Coeficientes Numéricos

¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de A = 12 x³ y² y B = 18 x² y⁴?

Ejercicio 3: Contexto tipo PISA: Sincronización Mecánica de Ciclos

Dos engranajes automatizados en una planta robótica completan su ciclo en tiempos

T_1 = t^2 - 1

T_2 = t^2 + t - 2

segundos. ¿Qué expresión algebraica describe el intervalo de tiempo en que ambos vuelven a reiniciar su ciclo simultáneamente?

Ejemplo resuelto

MCD y mcm de 6x²(x + 1) y 4x(x + 1)²

1
Los números
MCD(6, 4) = 2 y mcm(6, 4) = 12.
2
Los factores comunes, con el menor exponente
$\text{MCD} = 2x(x + 1)$
3
Todos los factores, con el mayor exponente
$\text{mcm} = 12x^2(x + 1)^2$
4
Comprueba
El MCD divide a los dos y los dos dividen al mcm: 6x²(x + 1) · 2(x + 1) = 12x²(x + 1)².

Practica

Dos ejercicios más

Factoriza todo antes de comparar.

Ejercicio 4: el MCD con factorización

¿Cuál es el MCD de

x^2 - 9

x^2 + 6x + 9

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): las baldosas

Un patio de 12 m por 18 m se cubre con baldosas cuadradas iguales, lo más grandes posible, sin cortar ninguna. ¿Cuánto mide el lado de cada baldosa?

Puente con el Módulo 2: Fracciones Algebraicas

"En el siguiente módulo aprenderás a resolver $\frac{1}{P(x)} + \frac{1}{Q(x)}$ . Si utilizas como común denominador el $\text{mcm}(P, Q)$ , la suma se simplifica de forma limpia e inmediata. Si en lugar del mcm multiplicas los denominadores en cruz a ciegas, obtendrás polinomios de grado monstruoso que tardarás mucho más en simplificar. ¡El mcm es tu mejor aliado de velocidad!"