18. Estrategias de Factorización III: Raíces Enteras

$x^3 - 7x + 6$ no tiene factor común y no es ninguna identidad notable. En la lección 15 viste que cada raíz da un factor, pero ¿cómo encontrar una raíz si hay infinitos números para probar?

Hay una pista en el último número. Si el polinomio fuera $(x - r)(x - s)(x - u)$, al multiplicar, el término independiente sería $-rsu$: cada raíz entera divide al término independiente. Con 6, solo hay ocho candidatas. Mira cómo se prueban.

La regla no dice que todos los divisores sean raíces: dice que si hay raíces enteras, están en esa lista. Por eso se prueban, con $P(r)$ o con Ruffini. Cuando una da 0, Ruffini baja el grado y lo que queda se factoriza más fácil. Y como un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces, cuando las encuentras todas puedes dejar de buscar.

Si el coeficiente principal no es 1, también pueden aparecer raíces racionales $\frac{p}{q}$, con p divisor del término independiente y q divisor del coeficiente principal, como dice el libro en su capítulo 10.

1. 1

   Las candidatas

   Divisores de 6, con los dos signos: ±1, ±2, ±3, ±6.
2. 2

   Prueba la más fácil

   1 no es raíz; −1 sí. Entonces x + 1 es un factor.

   $$\begin{aligned} P(1) &= 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \\ P(-1) &= -1 - 4 - 1 + 6 \\ &= 0 \end{aligned}$$
3. 3

   Divide con Ruffini entre x + 1 (a = −1)

   $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -4 & 1 & 6 \\ -1 & & -1 & 5 & -6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$$
4. 4

   Factoriza el cociente de grado 2

   x² − 5x + 6: dos números que multiplicados den 6 y sumados den −5 son −2 y −3.

   $$\begin{aligned} &x^3 - 4x^2 + x + 6 \\ &= (x + 1)(x - 2)(x - 3) \end{aligned}$$
5. 5

   Comprueba con otra raíz

   P(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0. Coincide con el factor x − 2.

Seis ejercicios; dos son del libro. Escribe las candidatas antes de probar.