17. Estrategias de factorización II: Identidades Notables

Aprende a reconocer patrones visuales inmediatos (diferencia de cuadrados y trinomios perfectos) para factorizar sin hacer cálculos largos.

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Para empezar

Las identidades, leídas al revés

En las lecciones 7 a 9 multiplicaste: (x+3)2=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 y (x+7)(x−7)=x2−49(x + 7)(x - 7) = x^2 - 49. Factorizar es el viaje de vuelta: te dan el resultado y tienes que reconocer de qué producto salió.

Es como armar un rompecabezas cuando ya viste la caja. Si reconoces la forma, la factorización sale de una vez, sin probar números. ¿Cómo se reconoce un cuadrado perfecto? Míralo con fichas.

Momento animado

Fichas que se vuelven un cuadrado

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Dibujado con x = 4: cada cuadrito es una unidad.

  • x²
  • x (seis tiras)
  • 1 (nueve cuadritos)
Etapa 1 de 5
Etapas

Etapa 1 de 5 · Las fichas

Cada término es un grupo de fichas: x2x^2 es una ficha de x por x, 6x6x son seis tiras de x por 1 y 9 son nueve cuadritos.

x2+6x+9x^2 + 6x + 9
La idea

Dos formas que se reconocen a la vista

Trinomio cuadrado perfecto. El primero y el último son cuadrados (x2x^2 y 9=329 = 3^2) y el del medio es el doble del producto de sus raíces (2⋅x⋅3=6x2 \cdot x \cdot 3 = 6x). En las fichas, eso es que las tiras se reparten en dos grupos iguales y los cuadritos llenan justo la esquina.

Trinomio cuadrado perfecto
a2±2ab+b2=(a±b)2a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Diferencia de cuadrados. Dos cuadrados que se restan, sin término del medio. Mira cómo la L se convierte en un rectángulo:

Momento animado

Diferencia de cuadrados: de la L al rectángulo

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Cada cuadrito es una unidad de área: ninguna pieza cambia de tamaño.

a = 6a
  • a(a − b)
  • b(a − b), la que gira
  • b², la que se quita
Etapa 1 de 5
Etapas

Etapa 1 de 5 · a²

Para factorizar a2−b2a^2 - b^2 empieza por el cuadrado a2a^2, aquí con a=6a = 6: 36 cuadritos.

a2=62=36a^2 = 6^2 = 36
Diferencia de cuadrados
a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
Ejemplo resuelto

Factoriza 4x² − 12x + 9

  1. 1

    ¿El primero y el último son cuadrados?

    Sí: 4x² = (2x)² y 9 = 3². Las raíces son a = 2x y b = 3.
  2. 2

    ¿El del medio es el doble del producto?

    2 · 2x · 3 = 12x. Coincide, y tiene signo menos.
  3. 3

    Escribe el cuadrado del binomio, con el signo del medio

    4x2−12x+9=(2x−3)24x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2
  4. 4

    Comprueba multiplicando

    (2x−3)2=4x2−2⋅2x⋅3+9=4x2−12x+9\begin{aligned} &(2x - 3)^2 \\ &= 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 9 \\ &= 4x^2 - 12x + 9 \end{aligned}

Si el término del medio no hubiera coincidido (por ejemplo, 4x2+10x+94x^2 + 10x + 9), no sería un cuadrado perfecto y habría que buscar otro camino, como el de la lección 18.

Practica

Reconoce la forma

Seis ejercicios; dos son del libro. Antes de factorizar, pregúntate: ¿hay factor común?, ¿es una resta de cuadrados?, ¿es un cuadrado perfecto?

Ejercicio 1 (tipo Saber 11): ¿cuál es cuadrado perfecto?
¿Cuál de estos trinomios es un cuadrado perfecto?
Ejercicio 2: diferencia de cuadrados con exponentes
Factoriza 16x4−81y216x^4 - 81y^2.
Ejercicio 3: del libro
Factoriza por completo x3−9xx^3 - 9x.
Ejercicio 4: del libro, dos veces
Factoriza por completo x4−16x^4 - 16.
Ejercicio 5 (tipo PISA): el jardín rectangular
El área de un jardín es A(x)=x2−144A(x) = x^2 - 144 m², y sus lados son los dos factores de esa expresión. Si x = 20 m, ¿cuánto miden el largo, el ancho y el área?
Ejercicio 6: cuadrado de una diferencia
Factoriza 9x2−30x+259x^2 - 30x + 25.