16. Estrategias de Factorización I: Factor Común

En un mercado campesino hay dos puestos vecinos con el mismo fondo, 3 m. Uno tiene 4 m de frente y el otro, 5 m (medidas de ejemplo). Para saber cuánto piso ocupan entre los dos, puedes calcular cada uno y sumar, $3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 27$, o pensar en un solo rectángulo de 3 m de fondo y $4 + 5 = 9$ m de frente: $3(4 + 5) = 27$.

Ese 3 que se repite es el factor común. Con letras pasa lo mismo, y es lo primero que se revisa al factorizar.

Multiplicar es repartir: $3x(2x + 3) = 6x^2 + 9x$. Factorizar es el camino de vuelta: encontrar lo que se repartió. En el dibujo, es encontrar el lado que comparten todos los rectángulos.

Para encontrar lo que queda dentro del paréntesis, divide cada término entre el factor común. Y siempre puedes comprobar multiplicando: si al repartir no vuelves a la expresión original, algo falló.

1. 1

   MCD de los coeficientes

   El mayor número que divide a 10 y a 15 es 5.
2. 2

   Las letras que están en todos los términos, con su menor exponente

   x aparece como x³ y x²: se toma x². y aparece como y e y²: se toma y.

   $$\text{factor común} = 5x^2y$$
3. 3

   Divide cada término entre el factor común

   $$\begin{gathered} \frac{10x^3y}{5x^2y} = 2x \\[4pt] \frac{-15x^2y^2}{5x^2y} = -3y \end{gathered}$$
4. 4

   Escribe el producto

   $$\begin{aligned} &10x^3y - 15x^2y^2 \\ &= 5x^2y(2x - 3y) \end{aligned}$$
5. 5

   Comprueba multiplicando

   5x²y · 2x = 10x³y y 5x²y · (−3y) = −15x²y². Vuelves al principio.

Seis ejercicios. Después de escoger, multiplica para comprobar.