15. Teorema del Factor y Divisibilidad

¿Encaja la Pieza?

En aritmética, sabemos que 12 es divisible por 3 porque $12 \div 3 = 4$ con un residuo de 0. En álgebra, el principio es idéntico: un polinomio es divisible por otro si al dividirlos el residuo es nulo.

El Teorema del Factor

Un polinomio $P(x)$ tiene un factor $(x - c)$ sí y solo sí $P(c) = 0$ .

Dirección 1

Si $P(c)=0$ Es Factor

Dirección 2

Si Es Factor $P(c)=0$

Concepto Clave

"El residuo cero es la prueba definitiva de divisibilidad. Si sobra algo, no es un factor."

Probando Factores

En lugar de hacer la división larga completa para comprobar si algo es un factor, simplemente usamos el teorema para "evaluar" la llave.

El Maestro de Llaves

Prueba qué binomio divide exactamente al polinomio

Polinomio Objetivo (La Cerradura):

P(x) = x^3 - 7x - 6

Selecciona una posible llave (factor):

Selecciona un factor para probar el Teorema.

Advertencia de Signos

Recuerda la inversión de signos:
Para probar el factor $(x - 5)$ , evalúas $P(5)$ .
Para probar el factor $(x + 3)$ , evalúas $P(-3)$ .

Entrenamiento Práctico

Procedimental

Factorización Asistida

Se sabe que $(x + 2)$ es un factor del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ .
Encuentra los otros dos factores lineales.

Ver Estrategia

Paso 1: Dividir

Como $(x+2)$ es factor, dividimos $P(x)$ entre $(x+2)$ usando Ruffini (raíz -2).

1 -2 -5 6
-2 8 -6
-------------
1 -4 3 0 (¡Residuo 0 confirmado!)

Paso 2: Factorizar el Cociente

El resultado es $x^2 - 4x + 3$ . Factorizamos este trinomio:

Buscamos dos números que multiplicados den +3 y sumados -4.

(x - 3)(x - 1)

Factores totales: $(x+2)(x-3)(x-1)$

Aplicación PISA

Control de Calidad

Una fábrica produce piezas cuyo volumen debe seguir la fórmula $V(x) = 2x^3 - kx + 10$ , donde $x$ es una dimensión crítica.

El departamento de ingeniería afirma que cuando la dimensión $x = 2$ , el volumen de la pieza es defectuoso y se reduce a cero (colapsa).

Tu Misión:
1. Usa el Teorema del Factor para hallar el valor de la constante

k

.
2. Escribe la expresión completa del volumen.

Ver Resolución

1. Planteamiento

Si el volumen es 0 cuando $x = 2$ , entonces $(x-2)$ es un factor, o simplemente $V(2) = 0$ .

2(2)^3 - k(2) + 10 = 0

2. Despeje

$2(8) - 2k + 10 = 0$
$16 + 10 = 2k$
$26 = 2k$ $k = 13$

$V(x) = 2x^3 - 13x + 10$