15. Teorema del Factor y Divisibilidad

Si repartes 24 dulces en bolsas de 6, no sobra ninguno: 6 es un divisor de 24, y $24 = 6 \cdot 4$. Con 26 dulces sobran 2, y 6 ya no es divisor. Lo que decide es el residuo.

Con polinomios pasa lo mismo: $x - a$ es un factor de $P(x)$ cuando la división da residuo 0. Y en la lección 12 viste que ese residuo es $P(a)$. Mira qué pasa con el residuo mientras $a$ recorre el eje.

Al dividir entre $x - a$ queda $P(x) = (x - a)\,C(x) + r$, con $r$ un número. Si reemplazas $x = a$, el primer sumando vale $0 \cdot C(a) = 0$, así que $P(a) = r$. Y $x - a$ es factor exactamente cuando ese residuo es 0.

Por eso, para saber si $x - a$ divide a un polinomio no hace falta dividir: basta reemplazar $a$. Y cuando sale 0, Ruffini te da el otro factor.

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   Busca una raíz entre los divisores de 6

   Si hay raíces enteras, dividen al término independiente: ±1, ±2, ±3, ±6. Empieza por la más fácil.

   $$P(1) = 1 - 7 + 6 = 0$$
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   Usa el teorema del factor

   Como P(1) = 0, x − 1 es un factor.
3. 3

   Divide con Ruffini, sin olvidar el 0 de x²

   $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -7 & 6 \\ 1 & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}$$
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   Factoriza el cociente

   x² + x − 6: dos números que multiplicados den −6 y sumados den 1 son 3 y −2.

   $$\begin{aligned} &x^3 - 7x + 6 \\ &= (x - 1)(x^2 + x - 6) \\ &= (x - 1)(x + 3)(x - 2) \end{aligned}$$
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   Comprueba

   Las raíces son 1, −3 y 2. Por ejemplo, P(2) = 8 − 14 + 6 = 0 y P(−3) = −27 + 21 + 6 = 0.

Seis ejercicios; tres son del libro. En cada uno, primero reemplaza; divide solo cuando te dé 0.