14. Teorema del Resto: Cálculo de Imágenes

Para empezar

Dos caminos, el mismo número

Para saber cuánto vale $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ en x = 2, puedes reemplazar: $8 - 8 - 10 + 6 = -4$ . O puedes dividir $P(x)$ entre $x - 2$ con Ruffini y mirar el residuo: también da −4.

No es casualidad. El residuo de dividir entre x − a siempre es P(a), y en la gráfica es la altura del punto que está sobre a. Míralo.

Momento animado

El residuo de dividir entre x − a es P(a)

$P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ . Dale a Reproducir: se detiene en cada raíz.

$a + 2$

−0,60

$a - 1$

−3,60

$a - 3$

−5,60

Valor de aa = −2,60

Etapas

Etapa 1 de 5 · La idea

Dividir $P(x)$ entre $x - a$ deja un residuo, y ese residuo es $P(a)$ : la altura de la gráfica en a. Mira el segmento vertical.

Residuo de dividir entre $x - a$ : P(−2,60) = −12,10. No es factor.

El Residuo es la Respuesta

Normalmente, para calcular el valor de una función como $P(x)$ en un número $x = c$ , sustituimos la $x$ y hacemos muchas cuentas. Pero existe un "truco" matemático sorprendente:

El Teorema del Resto

Si divides un polinomio $P(x)$ entre el binomio $(x - c)$ , el residuo $R$ de esa división es exactamente igual al valor de la función evaluada en $c$ .

P(c) = \text{Residuo}

¿Por qué funciona?

Sabemos que $P(x) = (x - c) \cdot Q(x) + R$ .
Si reemplazamos $x$ por $c$ , el término $(c - c)$ se vuelve cero y anula todo el cociente, dejando solo: $P(c) = 0 \cdot Q(c) + R \implies P(c) = R$ .

Concepto Clave

"Evaluar un polinomio P(x) en x=c es matemáticamente equivalente a encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x-c)."

Sustitución vs. División Sintética

Imagina el Teorema del Resto como un colador matemático. En lugar de analizar cada ingrediente por separado (sustitución), pasas toda la mezcla por el filtro de la división. Lo que queda atrapado (el residuo) es el valor que buscas.

Veamos por qué es el método favorito de las computadoras y los expertos:

¿Quién es más rápido?

Sustitución vs. Teorema del Resto

Objetivo: Calcular $P(3)$ para el polinomio:

P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 5

Método Clásico

Teorema del Resto

Nota: Cuando el grado del polinomio es alto (ej. $x^7$ ), la división sintética es drásticamente más rápida y menos propensa a errores de cálculo.

Ejemplo resuelto

El residuo de (2x³ − x² + 4) ÷ (x − 1), por los dos caminos

1
El número a
El divisor es x − 1, así que a = 1.
2
Camino 1: Ruffini, sin olvidar el 0 de la x
El último número de abajo es el residuo: 5.
$\begin{array}{r|rrrr} & 2 & -1 & 0 & 4 \\ 1 & & 2 & 1 & 1 \\ \hline & 2 & 1 & 1 & 5 \end{array}$
3
Camino 2: reemplazar x = 1
$P(1) = 2 - 1 + 4 = 5$
4
Conclusión
Los dos caminos dan 5. Con números grandes o potencias altas, reemplazar suele ser más rápido; si además quieres el cociente, conviene Ruffini.

Entrenamiento Práctico

Procedimental

La Prueba de Fuego

Calcula

P(-2)

para el siguiente polinomio de grado 5 usando el Teorema del Resto (Ruffini):

P(x) = 3x^5 + 5x^4 - 4x^3 + 7x + 3

Ejercicio 1: Evaluación Sintética de Polinomios

Al aplicar la regla de Ruffini con

c = -2

P(x) = 3x^5 + 5x^4 - 4x^3 + 0x^2 + 7x + 3

, ¿cuál es el resto final correspondiente a

P(-2)

Aplicación tipo PISA

Modelo Financiero

Una startup tecnológica modela sus beneficios acumulados (en miles de dólares) mediante la función:

B(t) = t^3 - 4t^2 + 10t + 500

Donde $t$ es el número de meses desde el lanzamiento.

Ejercicio 2: Beneficios Acumulados

Utilizando el Teorema del Resto para calcular la imagen en

t = 4

, ¿cuál es el beneficio financiero exacto reportado por la startup?

Practica

Cuatro ejercicios más

Primero identifica a; después decide si conviene reemplazar o hacer Ruffini.

Ejercicio 3: del libro

Sin dividir, halla el residuo de

(x^4 - 3x^2 + 2x - 5) \div (x + 2)

Ejercicio 4: sin hacer 101 pasos

¿Cuál es el residuo de dividir

x^{101} + 1

entre

x + 1

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): leer el residuo

Al dividir un polinomio P(x) entre x − 3, el residuo es 7. ¿Qué se puede afirmar?

Ejercicio 6: el valor que falta

Al dividir

x^3 + kx - 2

entre

x - 2

, el residuo es 10. ¿Cuánto vale k?