13. El concepto de raíz de un polinomio

En el libro «Matemáticas para un mundo sostenible», Yeiner hace cajas sin tapa con láminas de cartón reciclado de 30 cm por 20 cm (medidas de ejemplo): corta un cuadrado de $x$ cm en cada esquina y dobla las pestañas. El volumen es

$V(x) = x\,(30 - 2x)(20 - 2x)$

Si no corta nada ($x = 0$), la caja no tiene alto. Si corta 10 cm, el ancho $20 - 2 \cdot 10$ es 0. En los dos casos el volumen es 0. Los valores que hacen 0 a un polinomio se llaman raíces, y cuando está escrito como un producto se leen de una vez.

Un número $r$ es una raíz (o un cero) del polinomio $P$ si al reemplazarlo el resultado es 0. En la gráfica de $y = P(x)$, las raíces son los puntos donde la curva toca el eje x.

Si el polinomio está factorizado, como $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$, cada factor da una raíz: el producto vale 0 exactamente cuando uno de los factores vale 0. Por eso $x + 2 = 0$ da la raíz −2, no la 2.

Un factor puede repetirse. En $(x + 2)(x - 1)^2$ la raíz 1 tiene multiplicidad 2: el factor $(x - 1)^2$ nunca es negativo, así que la gráfica toca el eje en 1 y se devuelve sin cruzarlo. Con multiplicidad impar, la gráfica cruza el eje.

1. 1

   Reemplaza x = 2

   Da −4, no 0: 2 no es raíz. La gráfica pasa por (2, −4), debajo del eje.

   $$\begin{aligned} P(2) &= 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 \\ &= 8 - 8 - 10 + 6 = -4 \end{aligned}$$
2. 2

   Reemplaza x = 3

   Da 0: 3 sí es raíz.

   $$P(3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0$$
3. 3

   Lee todas las raíces en la forma factorizada

   El mismo polinomio es (x + 2)(x − 1)(x − 3). Cada factor igualado a 0 da una raíz.

   $$\begin{gathered} x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \\ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \end{gathered}$$
4. 4

   Comprueba con la gráfica

   Son los tres puntos donde se detiene el momento animado. Un polinomio de grado 3 tiene a lo sumo 3 raíces: no hay más.

Seis ejercicios; dos son del libro. Antes de escoger, reemplaza y comprueba que da 0.