12. Regla de Ruffini: División Sintética

El área de una huerta rectangular es $A(x) = 2x^2 + 7x + 3$ metros cuadrados y su ancho es $x + 3$ metros (es un problema del libro «Matemáticas para un mundo sostenible»). Si el área es largo por ancho, el largo es el área dividida entre el ancho.

Dividir polinomios con la división larga funciona, pero es lenta. Cuando el divisor es de la forma $x - a$, hay un atajo de solo números: la regla de Ruffini. Primero mírala moverse.

Ruffini es la división larga sin las letras: como el divisor es $x - a$, cada paso de la división larga se reduce a multiplicar por $a$ y sumar. La fila de abajo trae el cociente (un grado menos que el dividendo) y, en la última casilla, el residuo.

Dos cuidados: el número de la izquierda es $a$, el que hace cero al divisor. Para $x - 3$ es 3, y para $x + 3 = x - (-3)$ es −3. Y arriba van todos los coeficientes, con un 0 por cada potencia que falte. Si reemplazas $x = a$ en la fórmula de arriba, el primer término se vuelve 0: el residuo es $P(a)$. Esa es la idea de las lecciones 14 y 15.

1. 1

   Escoge a

   El divisor es x + 3 = x − (−3), así que a = −3.
2. 2

   Escribe los coeficientes y baja el primero

   No falta ninguna potencia: 2, 7 y 3. El 2 baja tal cual.

   $$\begin{array}{r|rrr} & 2 & 7 & 3 \\ -3 & & -6 & -3 \\ \hline & 2 & 1 & 0 \end{array}$$
3. 3

   Multiplica y suma, columna por columna

   2 · (−3) = −6, y 7 + (−6) = 1. Luego 1 · (−3) = −3, y 3 + (−3) = 0.
4. 4

   Lee la fila de abajo

   El dividendo es de grado 2, así que el cociente es de grado 1: 2x + 1. El residuo es 0: la división es exacta.

   $$\begin{aligned} &2x^2 + 7x + 3 \\ &= (x + 3)(2x + 1) \end{aligned}$$
5. 5

   Responde y comprueba

   El largo de la huerta es 2x + 1 metros. Con x = 4, mide 7 m de ancho por 9 m de largo, y A(4) = 32 + 28 + 3 = 63 = 7 · 9.

Seis ejercicios; tres vienen del libro con su respuesta. Haz el cuadro en tu cuaderno antes de escoger.