11. División de Polinomios: Algoritmo Tradicional

Para empezar

La misma división del cuaderno

Desde la primaria divides así: cuántas veces cabe, multiplicas, restas y bajas la siguiente cifra. Con polinomios es el mismo algoritmo. La diferencia es que en vez de cifras hay potencias de x, y cada término va en la columna de su grado.

Y se para por la misma razón: cuando lo que queda es «más pequeño» que el divisor. En polinomios, más pequeño quiere decir de menor grado. Míralo con un ejemplo del libro «Matemáticas para un mundo sostenible».

Momento animado

La división larga, renglón por renglón

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Cada término va en la columna de su grado.

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Etapas

Etapa 1 de 5 · Dividir

Se divide el término principal del dividendo entre el del divisor: $\frac{2x^3}{x^2} = 2x$ . Es el primer término del cociente.

\frac{2x^3}{x^2} = 2x

El Algoritmo de la División

La división de polinomios no es magia negra; es aritmética aplicada a variables. Del mismo modo que $38 \div 7 = 5$ con un residuo de $3$ (porque $38 = 7(5) + 3$ ), los polinomios siguen la misma lógica estructural.

Definición Formal

Dados dos polinomios $P(x)$ (dividendo) y $D(x)$ (divisor), donde $D(x) \neq 0$ , existen dos polinomios únicos $Q(x)$ (cociente) y $R(x)$ (residuo) tales que:

P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)

*Condición clave: El grado de $R(x)$ debe ser estrictamente menor que el grado de $D(x)$ .

Concepto Clave

"La división larga nos permite descomponer funciones racionales complejas en partes más simples, crucial para cálculo (integrales) y trazado de gráficas."

El Proceso Paso a Paso (DMSB)

Para ejecutar la división sin errores, memoriza el ciclo DMSB:
Dividir ➔ Multiplicar ➔ Sustraer (Restar) ➔ Bajar.

Anatomía de la División

Algoritmo tradicional paso a paso

x + 2

)

2x² + 7x + 6

Paso 0: Preparación. Colocamos el dividendo (2x² + 7x + 6) dentro de la 'casita' y el divisor (x + 2) fuera. Observa que ambos están ordenados por potencias.

Trampa #1: El Orden

Antes de empezar, el dividendo y el divisor deben estar ordenados en potencias descendentes.
$x + 4x^3 - 2$ $4x^3 + x - 2$

Trampa #2: Los Huecos

Si falta una potencia, debes llenar el espacio con cero. Si divides

x^3 - 1

, escríbelo como:

x^3 + 0x^2 + 0x - 1

Si no lo haces, las columnas no se alinearán.

Entrenamiento Práctico

Ejercicio 1: División con Términos Faltantes

Realiza la división tradicional completando el término ausente de primer grado:

(x^3 - 4x^2 + 5) \div (x - 3)

Ejercicio 2: Modelado Geométrico de Volumen y Altura (Tipo PISA)

Un arquitecto modela el volumen de concreto de una rampa mediante $V(x) = 3x^3 + 8x^2 - 5x - 6$ . La altura de la rampa está dada por $h(x) = x + 2$ .

Determina la función del área de la base $B(x)$ , el residuo $R$ y su significado físico en la obra:

Ejemplo resuelto

(6x³ + x² − 4x + 5) ÷ (2x² − x + 1)

1
Primer término del cociente
$\frac{6x^3}{2x^2} = 3x$
2
Multiplica y resta
3x(2x² − x + 1) = 6x³ − 3x² + 3x. Al restar se cancela 6x³.
$\begin{aligned} &6x^3 + x^2 - 4x + 5 \\ &- (6x^3 - 3x^2 + 3x) \\ &= 4x^2 - 7x + 5 \end{aligned}$
3
Segundo término del cociente
$\frac{4x^2}{2x^2} = 2$
4
Multiplica y resta otra vez
2(2x² − x + 1) = 4x² − 2x + 2.
$\begin{aligned} &4x^2 - 7x + 5 \\ &- (4x^2 - 2x + 2) \\ &= -5x + 3 \end{aligned}$
5
Para y escribe el resultado
−5x + 3 es de grado 1, menor que 2: es el residuo. Cociente 3x + 2. Es un ejercicio de la práctica de polinomios del capítulo 10 del libro.

Practica

Tres ejercicios más

Deja un espacio para cada potencia que falte: las columnas tienen que quedar alineadas.

Ejercicio 3: con columnas vacías

Divide

(x^3 - 1) \div (x - 1)

Ejercicio 4: cuándo parar

En la división larga de polinomios, ¿cuándo se termina?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): reconstruir el dividendo

Al dividir un polinomio entre

x^2 + 1

se obtuvo cociente

2x - 1

y residuo 3. ¿Cuál era el polinomio?