10. Potencia de un binomio: Introducción a Newton

Para empezar

Las potencias de 11

Mira estas potencias: $11^2 = 121$ , $11^3 = 1\,331$ y $11^4 = 14\,641$ . Sus cifras son 1 2 1, 1 3 3 1 y 1 4 6 4 1. No es casualidad: $11 = 10 + 1$ , y $(10 + 1)^4$ se desarrolla con los mismos coeficientes que $(a + b)^4$ .

Esos coeficientes se pueden sacar sin multiplicar paréntesis, con un triángulo de números que se arma sumando. Míralo crecer.

Momento animado

El triángulo que da los coeficientes

Dale a Reproducir: cada número nuevo es la suma de los dos que tiene encima.

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Etapas

Etapa 1 de 5 · Arriba

Arriba un 1, debajo 1 y 1: son los coeficientes de $(a + b)^0 = 1$ y $(a + b)^1 = a + b$ .

(a + b)^1 = a + b

Más allá del Cuadrado

Ya dominas $(a+b)^2$ . Es fácil. Pero, ¿qué pasa si necesitamos calcular $(a+b)^4$ o $(a+b)^6$ ? Multiplicar paréntesis por paréntesis una y otra vez es lento y propenso a errores.

(a+b)^0 = 1

(a+b)^1 = 1a + 1b

(a+b)^2 = 1a^2 + 2ab + 1b^2

(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3

Estos coeficientes siguen un patrón que se conocía siglos antes en China, Persia e India; Blaise Pascal lo estudió a fondo e Isaac Newton lo generalizó. No necesitas multiplicar; solo necesitas saber leer un mapa.

Concepto Clave

"El Binomio de Newton permite expandir (a+b)ⁿ siguiendo un patrón de coeficientes (Triángulo de Pascal) y exponentes."

El Triángulo de Pascal

Los números que multiplican a las letras (coeficientes) no son aleatorios. Se organizan en una pirámide infinita donde cada ladrillo se apoya en los dos de arriba.

El Mapa de Coeficientes

Triángulo de Pascal: La clave del Binomio de Newton

Potencia del Binomio

(a+b)^n

Expansión Resultante

(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

Patrón de Construcción: Cada número es la suma de los dos números que tiene justo encima. (Ejemplo: 1 + 2 = 3). Los bordes siempre son 1.

Regla de los Exponentes

El exponente de $a$ empieza en el máximo ( $n$ ) y baja hasta 0.
El exponente de $b$ empieza en 0 y sube hasta el máximo ( $n$ ).
En cada término, la suma de exponentes siempre es $n$ .

Regla de los Coeficientes

Los coeficientes salen directamente de la fila $n$ del Triángulo de Pascal.

Ej: Para $n=3$ , usamos la fila 1, 3, 3, 1.

Entrenamiento Práctico

Ejercicio 1: Expansión Cúbica con Coeficientes de Pascal

Utiliza la fila 3 del Triángulo de Pascal (1, 3, 3, 1) para desarrollar el siguiente cubo prestando cuidado a los signos:

(x - 2)^3

Ejercicio 2: Interpretación Geométrica del Cubo Expandido (Tipo PISA)

Un artista posee una escultura cúbica de lado $x$ metros y decide aumentarla sumando 1 metro a cada dimensión (largo, ancho y alto).

Determina el polinomio del nuevo volumen total $V(x)$ y la interpretación geométrica exacta del sumando $3x^2$ :

Ejemplo resuelto

Desarrolla (2x − 1)³

1
La fila de los coeficientes
El exponente es 3: fila 1 3 3 1.
2
Identifica a y b, con su signo
a = 2x y b = −1. El signo va dentro de b.
3
Arma los cuatro términos
$\begin{aligned} &1(2x)^3 + 3(2x)^2(-1) \\ &+ 3(2x)(-1)^2 + 1(-1)^3 \end{aligned}$
4
Calcula cada uno
$8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$
5
Comprueba con x = 1
(2 − 1)³ = 1, y 8 − 12 + 6 − 1 = 1.

Practica

Tres ejercicios más

Escribe la fila del triángulo antes de empezar.

Ejercicio 3: con la fila 4

Desarrolla

(x + 1)^4

Ejercicio 4: un solo término

¿Cuál es el coeficiente de

x^3

(x + 2)^5

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): sin calculadora

Usando

11 = 10 + 1

y la fila 1 4 6 4 1, ¿cuánto es

11^4