1. Del Número a la Letra | Álgebra (Fundamentos)

Para empezar

¿Cuántos palillos para 50 cuadrados?

En el descanso alguien arma cuadrados en fila con palillos y te pregunta cuántos necesitaría para 50 cuadrados. Podrías dibujar los 50 y contar. O podrías encontrar la regla con 2 o 3 cuadrados y escribirla con una letra, que vale para cualquier cantidad.

Pasar del número a la letra es eso: ver qué se repite y escribirlo una sola vez. Míralo.

Momento animado

Cuadrados de palillos: del dibujo a la fórmula

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Cuenta los palillos de cada cuadrado nuevo.

Cuadrados	1	2	3	4	5	n
Palillos						?

AvanceEtapa 1 de 5

Etapas

Etapa 1 de 5 · Uno

Un cuadrado con palillos necesita 4.

Poniendo palillos…

El Álgebra es Aritmética Generalizada

Imagina que tomas una fotografía de un edificio. Esa foto muestra el edificio tal cual es en ese momento exacto. Eso es la Aritmética: trabajas con números concretos ( $2 + 3 = 5$ ).

Ahora imagina que tienes los planos del edificio. Con los planos, puedes construir un edificio igual, pero de 5 pisos, o de 20, o cambiar los materiales. Eso es el Álgebra: creas una estructura general que funciona para cualquier valor.

Aritmética (La Foto)

Responde preguntas específicas:

10 + (2 \times 5) = 20

Álgebra (El Plano)

Crea modelos para todo caso:

C(x) = 10 + 2x

Concepto Clave

"Álgebra no es 'matemáticas con letras'. Es la ciencia de generalizar patrones. Usamos letras para representar cantidades que pueden cambiar (variables) o cantidades que desconocemos (incógnitas)."

El Juego de las Letras

Para modelar la realidad, necesitamos símbolos. Por convención histórica, usamos diferentes partes del alfabeto:

a, b, c
Constantes: Usamos las primeras letras para valores que, aunque generales, se mantienen fijos en un problema específico (ej. la gravedad, el precio de entrada).
x, y, z
Variables: Usamos las últimas letras para cantidades que cambian o son desconocidas (ej. tiempo, distancia, número de unidades).

¿Cómo Modelar una Situación?

Modelar es traducir del "Español" al "Matemático". Interactúa con el siguiente simulador para entender cómo una frase verbal se convierte en una fórmula dinámica.

Laboratorio de modelado

El costo de ir a la feria

La entrada cuesta $\$10$ (fijo) y cada juego $\$2$ (variable). Los puntos son los casos posibles (no hay medio juego); la recta punteada es el modelo.

Modelo

$C(x) = 10 + 2x$

Costo con 5 juegos

$10 + 2 \cdot 5 = \$20$

Cantidad de juegosx = 5

Diccionario de Traducción

Lenguaje Verbal	Lenguaje Algebraico
Un número cualquiera	$x$
El doble de un número	$2x$
Un número aumentado en 5	$x + 5$
El cuadrado de la suma de dos números	$(x + y)^2$

Concepto Clave

"Identificar la variable es el paso crucial. Pregúntate: ¿Qué es lo que cambia? o ¿Qué es lo que no sé? A eso llámalo x."

Práctica de Modelización

Ejercicio 1: Traducción al Lenguaje Simbólico

Traduce con precisión la siguiente oración a una ecuación algebraica:

"El triple de un número, disminuido en 8, es igual a la mitad de dicho número."

Ejercicio 2: Modelo Lineal de la Tarifa de Taxi (Tipo PISA)

En una ciudad, un servicio de taxi cobra una tarifa base de banderazo de $\$2{,}50$ más $\$1{,}20$ por cada kilómetro recorrido $k$ .

Si dispones de un presupuesto total exacto de $\$20$ , ¿cuál es la ecuación para determinar la cantidad de kilómetros $k$ que puedes viajar?

Ejemplo resuelto

Traducir una frase al álgebra

«Si al triple de un número le quitas 8, obtienes la mitad del número.» ¿Qué ecuación lo dice?

1
Ponle nombre a lo que no sabes
Sea x el número.
2
«El triple de un número»
$3x$
3
«…le quitas 8»
Se le resta al triple, no al número.
$3x - 8$
4
«…obtienes la mitad del número»
«Obtienes» es el igual.
$3x - 8 = \frac{x}{2}$
5
Compruébalo con un número
Si x = 3,2: el triple es 9,6, menos 8 da 1,6, y la mitad de 3,2 también es 1,6. La ecuación dice lo mismo que la frase.

Practica

Cuatro ejercicios más

Antes de escoger, prueba cada opción con un número.

Ejercicio 3: veinte cuadrados

Con la regla de los palillos, ¿cuántos palillos se necesitan para 20 cuadrados en fila?

Ejercicio 4: el ahorro de Laura

Laura tiene $40.000 ahorrados y guarda $5.000 cada semana. ¿Qué expresión da cuánto tiene después de s semanas?

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): las edades

La edad de Ana es el doble de la de su hermano, menos 3 años. Si el hermano tiene h años, ¿cuál es la edad de Ana?

Ejercicio 6: de la letra a la frase

¿Qué frase dice lo mismo que

n^2 + 1